MATLAB最基础教程（零）：基本数学概念

前言：matlab只是个软件，用来完成相关数学的计算，而如何安排这些计算，需要用户掌握最基本的数学概念。如果不理解相关的数学概念，则自然不会使用这个软件。

1.数值与符号

如果给工程数学问题分类，最大的两类肯定是数值问题和符号问题，对应matlab的数值运算和符号运算。简而言之，数值运算就是所有的变量的值已知，求解的也是一些具体的值；符号运算则刚好相反，不要求所有的变量都已知，求解的结果也不是变量具体的值，而是变量之间的关系。一个简单的例子是
①数值问题：求解一元二次方程，ax2+bx+c=0，其中a=b=c=1，所求得的结果一定是x=几点几+几点几i，是个复数，是个具体的数值。
②符号问题：求解一元二次方程，ax2+bx+c=0，所求的的结果一定是x=求根公式，是abc的函数，是个关系
可见，一个问题是数值问题还是符号问题，很大程度上决定于结果需要求解的是数值还是关系。当然两个问题也可以相互转化，比如数值问题的一元二次方程，我们一般会先转化成符号问题，把abc代入求根公式，求出来变量x的具体数值。但实际中，一般我们并不推荐这样做，原因是matlab的数值和符号是完全不同的两套系统，相互转化不仅需要多余的数值符号转换语言，更可能带来查错的不便。

2.典型数值问题

以下是常见的数值问题，文中提到的解法均可在数值计算、科学计算、数值算法这类书中找到。

2.1代数方程

代数方程又分为线性方程和非线性方程，线性方程一般可以转化为矩阵形式AX=b，对A求逆即可。求逆的数值解法一般有高斯赛德尔迭代，超松弛迭代等。非线性方程一般转化为f(x)=zeros其中x是个向量，右侧的zeros表示f是个多输出函数，数值解法一般是迭代，常见的有牛顿迭代，最速梯度，点斜式等。

2.2常微分方程

常微分方程一般转化为Dy=f(y,t)，且y(0)=y0是初始条件，其中y和Dy都是向量，f也是个多输出函数，数值解法有欧拉法，龙格库塔法。

2.3偏微分方程

偏微分方程比较复杂，matlab处理偏微分方程也不专业，我也几乎不用matlab处理这类问题。但工程数学上，偏微分方程的解法有两类，差分法和有限元法。差分法需要采用中心差分，迎风差分等。有限元需要计算刚度矩阵等。

2.4插值和拟合

插值和拟合是完全不同的两个数学概念，虽然很多时候很多人都混淆了。两者的描述都可以归结为：已知函数上的点**(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)，求一个已知的x**，对应的y的数值。插值常用的多项式插值，三次样条插值。拟合的本质是一个最优化问题，其中最常用的一种拟合是线性拟合，求解方法是最小二乘法。

2.5离散周期傅里叶变换

严格说来，这并不能算一个数学问题，只是一种运算方式，就好像加减乘除一样。特殊性在于这种变换是对于一个向量进行，且运算后的结果依然是个向量。这里提出来是为了强调这种傅里叶变换的限定，要求是离散周期，这也是数值方法能处理的唯一一种傅里叶变换。

2.6最优化问题

最优化问题比较宽泛，一般可以归结为求目标函数f(x)的最大或者最小值，其中f是一个单输出的函数，x是一个向量。其中x需要满足线性约束条件、非线性约束条件、上下界。具体的解法有最速梯度，遗传，蚁群，退火等算法。

2.7数值积分

已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)，求函数在x1到xn的定积分。常见算法有矩形公式，梯形公式，辛普森公式。类似的问题还有数值求导。

3.典型符号问题

以下是常见的符号问题，需要特别指出的是，无解问题。数值问题中也有一部分无解问题，但大多数工程中是碰不到的。而符号问题恰好相反，绝大部分我们遇到的符号问题都是没有解的，或者准确的说，没有解析解。比如求一元五次方程，我们知道x和这些系数存在关系，但无法写出显式的表达式，也就是说没有解析解。

3.1递推转通项

这个问题可以归结为：已知xn+1=f(xn)，求xn，常见于数列的推导。

3.2代数方程

区别于数值问题中的代数方程， 这里的代数方程问题可以描述为：f(x,c)=0，求x=x©，这里需要求解的其实是x和c的关系。

3.3常微分方程

区别于数值问题中的常微分数方程， 这里的代数方程问题可以描述为：Dy=f(y,t,c)，求y=x(t,c)，一般无需初值条件。

3.4符号积分

区别于数值问题中的数值积分，这里的符号积分可以描述为：已知函数关系y=f(x)，求y的不定积分。同样的问题还有符号求导。

matlab最基础教程（一）：软件基本概念

1.matlab的界面（汉化的可略过）

左上角，home标签下，找到layout进行设置/复位，可以设置各板块的显示与隐藏。其中有几个部分，请务必要显示
①Current Folder：中文一般翻译成工作路径，一般设置成一个自己建立的、有读写权限的文件夹，例如我的文档下建立一个matlab文件夹
②Command Window：字面意思是命令窗口，用来运行代码，所有的代码都是在这里输入
③Workspace：字面意思是工作空间，其实就是暂存所有运行结果的地方，“暂”的具体含义是：关闭matlab后丢失

2.软件中的基本概念

2.1 函数

matlab之所以强大，就是因为提供大量的函数，你也可以建立自定义函数，方法是：Home->New->function。自定义函数一般保存在工作路径下。函数文件的特征是：扩展名m，内容的第一行以function开头，后续内容是“输出变量=函数名(输入变量)”。且函数名和文件名相同。
每个函数在Command Window中运行，用来完成特定的计算任务，运行方式是输入“输出变量=函数名(输入变量)”，然后按回车。例如有个系统自带的函数是用来求绝对值的，函数名abs，所以在Command Window里输入“a=abs(-1)”，就会显示运算结果为“a=1”。且运算结果会在Workspace里出现一个变量a，双击后可看到a的值是1。

2.2 脚本

可以理解为特殊的函数，这种函数内容的开头没有function那行，因此没有输入、输出变量，也没有函数名。文件扩展名和函数一样是m，也需要在Command Window里运行。脚本都是用户建立的，方法是：Home->New Script。一般保存在工作路径下。脚本的功能就是完成用户需要的、复杂的计算任务，通常脚本里会调用很多函数。

2.3 GUI

一般翻译为界面，就是人机交互界面的意思。写脚本处理问题的方法有点麻烦，让人看起来更像是码农，所以现在很多问题可以通过界面点点鼠标解决。这时候就需要打开界面，打开方法是：在APPS标签里可以找到所有已安装的GUI工具，单击即可。注意右边有个小三角可以点开。和函数一样，用户也可以自己建立自定义GUI，这部分较为复杂，对新手而言有点遥远。

2.4 toolbox

一般翻译成工具箱，matlab将功能相近或者应用上自成体系的一组函数和GUI打包成一个toolbox。正版的matlab在购买时，几乎每一个toolbox都是要单独收费的，所以toolbox也可以理解为matlab产品的模块，一个工具箱就是一个产品/商品。

一般用matlab解决问题的过程是：用户自定义脚本，在Command Window里运行脚本。而脚本的运行逻辑是顺序执行，和一般的编程一样。simulink则提供另一种思路，图形化编程，有点像labview，这种方法很适合于物理模型的仿真，因此有时用“matlab编程”和“simulink仿真”强调。使用方法是在home标签下点击simulink。

3.获得帮助

常用的获得帮助有四种方法
①home标签里，有个Help标志，点开后可以获得各工具箱/产品的完整帮助文档。新版本中默认使用在线，改用本地帮助的办法是在home标签里，Preferences下的matlab/Help里选择installed locally
②cn.mathworks.com官网上找到支持，然后可以获得教程。这种方法获得的帮助文档和第一种方法一样。
③在Command Window里输入 doc+函数名 来获得帮助。比如输入"doc fft"可以获得离散傅里叶变换函数fft的帮助和范例。这种方法获得的文档是前两种方法文档中的部分。当然，前提是你要知道函数名，才能找到帮助。这种方法适合于获得系统自带函数的使用说明。
④使用GUI时，通常界面的角落里有Help，点开可以获得帮助。这种方法获得的文档是第一和第二种方法文档中的部分。这种方法适合于获得系统自带GUI的使用说明。
这几种方法中，最常用的是第三种，只要知道自己需要的函数名，就可以用这种方式获得说明和范例。而实际使用中，一般常用的系统自带函数，也并不是非常多，大概几十个？真正需要牢记使用方法的可能就几个，通常都是知道函数名，要用的时候doc一下。

matlab最基础教程（二）：变量类型与赋值

前言：matlab解决问题的最基本思路是建立脚本文件，那么脚本文件的第一段就是定义一些变量，这和C语言等编程思想是一样的。matlab提供的变量类型很多，最基础的是三种：数值变量、符号变量、字符串，其他的类型还有cell、table等。这里仅说明最基础的变量类型。

1.数值变量

matlab中所有的数值变量都是矩阵，赋值时，以方括号作为开头和结尾，以英文逗号或空格分割同行元素，以英文分号分割各列。例如在Command Window里输入
a=[1 2;3 4]* *可以看到运算结果，a是一个数值变量。同时workspace里出现一个田字形的变量a，说明变量a的类型是数值型。

向量和数字可以视为特殊的矩阵，例如

  1. a=[1 2]
  2. a=[1;2]

分别是行向量和列向量，a=[1]可以简写为
a=1 是数字。
数值变量的命名要求是英文字母开头，不能包含特殊符号，大小写敏感。这里推荐采用下划线来进行分割，例如value_of_A，这和其他编程语言的命名规则大体相当。
赋值中，有时需要用到等差数列，例如定义一个向量a=[1 2 3]，如果比较长，赋值很麻烦，所以matlab提供了一个简单的方法
**a=[1:1:3]**这里两个冒号的意思是起始值:步长:终值。采用这种赋值方式时可以获得一个等差数列行向量，并可以省略两侧的方括号。当步长为1时，可以省略步长和一个冒号，于是可以简写为
a=1:3 另一种灵活的赋值方法是分块矩阵，其方法是变量名后面加圆括号，圆括号中加序号。例如

  1. a=[1 2;3 4]

定义变量a之后，
b=a(1,2) 就可以把a的第一行第二列元素赋值给b，当然也可以用
a(1,2)=1 来修改矩阵中部分元素的值。这里需要注意，序号必须是自然数，且不能是零。当矩阵中有多个元素需要赋值时，可以将序号部分改成向量，例如
a([1 2],[1 2])=[1 2;3 4] 中把行数和列数都用向量表示，就是说对矩阵a的第1和2行，第1和2列，总共4个元素赋值。更进一步，也可以有**a([1 2],1)**表示a的第一列，也可以写成
**a(1:end,1)**这里的end表示终点，即a的行数2，也可以更进一步简写成
**a(:,1)**这里的冒号表示从头至尾。这类赋值方法最为常用，但基本的语法非常简单，方括号表示矩阵开头和结尾，圆括号表示从矩阵中选取部分，把握这个原则，有利于读懂程序。
当然分块矩阵也可以
**b=[a a]**这样的赋值方法，但需要注意的是，方括号中的元素必须满足矩阵的行列数要求，例如

  1. a=[1 1]
  2. b=[1;1]
  3. c=[a b]

就会引起错误，因为此时matlab无法确定c的行列数。

2.符号变量

总体而言，符号变量比数值变量简单得多，因为变化非常少，常用的赋值命令是
syms a b这里syms表示这里要定义一些符号变量，a和b是变量名，符号变量的命名规则和数值变量一样。有时候也采用
syms a real来强调a是实数变量，具体可以doc syms来获得帮助。
有些变量之间存在依赖关系，此时可以定义
syms x y(x) 这里声明x是一个符号变量，又声明y是一个符号变量，且y的值由x决定，这相当于数学中函数的概念。当然具体的函数关系并没有明确规定。也可以
syms x y z(x,y)来定义符号变量z，z依赖x和y。这相当于二元函数的概念。这里的圆括号显然和数值变量中的圆括号含义完全不同，这也是学习matlab最不习惯的地方，同一个符号，由于变量类型不同会有完全不同的含义。所以在学习matlab的过程中，一定要区分数值变量和符号变量。
上述方法定义的符号变量是一个数，或者1*1矩阵，matlab中也可以定义符号矩阵，例如

  1. syms a11 a12 a21 a22
  2. A=[a11 a12;a21 a22]

就可以获得一个矩阵符号变量A。
定义符号变量后，workspace中出现相应的变量名，图形不是数值变量的田字形，而是方框里有个立方体，双击后可以看到行列数。

3.字符串

比数值、符号更为简单的就是字符串了，其定义方法是以单引号开头和结尾，例如
a='hello world’就定义了一个字符串a，其值为hello world。matlab中较为特殊的是，字符串可视为行向量，例如

  1. b='hello '
  2. c='world’
  3. a=[b c]

也可以获得字符串a，其值为你好世界。另外，有时也可以将字符串视为矩阵，例如a=[‘ab’;‘cd’]但这种用法很罕见，同时要求各行字符串长度一样，否则将违反矩阵行列数规定。当然字符串的值也可以是特殊符号，比如’,'就定义了逗号，而最特殊的就是定义单引号，因为单引号会和字符串定义中的单引号混淆，因此matlab中用两个单引号表示一个单引号，也就是a=’’’'表示a是一个字符变量，值是一个单引号。语句中第一和第四个单引号是字符串类型的开头和结尾，中间两个单引号用来表示一个单引号。定义字符串变量后，workspace中出现相应的变量名，图像是方框里写了ch，双击后可以看到行列数。